Міністерство освіти та науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ
НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Інструкція до лабораторної роботи № 3
з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування”
для студентів базового напрямку 6.0914
“Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління”
та базового напрямку 050201 “Системна інженерія”
Затверджено
на засiданнi кафедри
“Комп’ютеризовані
системи автоматики»
Протокол № 2 від 03.10.2007
Львів 2007
Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи № 3 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інжене рія” / Укл.: У.Ю. Дзелендзяк, А.Г. Павельчак, В.В. Самотий – Львів: НУЛП, 2007. – 32 с.
Укладачі: У.Ю. Дзелендзяк, к.т.н., доцент
А.Г. Павельчак, асистент
В.В. Самотий, д.т.н., професор
Відповідальний за випуск:
А.Й. Наконечний, д.т.н., професор
Рецензент: З.Р. Мичуда, д.т.н., професор
Мета роботи: вивчити основні методи уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим.
1. Загальні відомості
1.1. Постановка задачі.
Задача пошуку коренів нелінійного рівняння з одним невідомим виду
(1.1)
досить часто зустрічається на практиці як елементарний крок при розв’язуванні наукових та технічних проблем. На перший погляд вона виглядає достатньо простою, але знаходження її точного розв’язку є можливим лише тоді, коли є поліномом степені . Під знаходженням точного розв’язку мають на увазі певну процедуру обчислення кореня через параметри рівняння (наприклад, для рівняння ). Коренем (розв’язком) рівняння (1.1) називають значення , при якому .
Корінь рівняння (1.1) називають простим, якщо . У іншому випадку (тобто у випадку ) корінь називають кратним. Ціле число називають кратністю кореня , якщо для та . У геометричній інтерпретації корінь відповідає крапці перетину графіку функції з віссю . Корінь є простим, якщо графік перетинає вісь під ненульовим кутом, та кратним, якщо перетин від бувається під нульовим кутом (наприклад, графік функції дотикається вісі ). Функція , що зображена на рис. 1, має чотири кореня. Ко рені та – прості, та – кратні. Наприклад, рівняння має три корені: (простий) та (двократний); рівняння має один трикратний корінь, що є рівним одиниці.
Задача пошуку простих коренів є значно простішою (та частіше зустрічається), ніж задача пошуку кратних коренів. І тому, більшість методів пошуку коренів нелінійного рівняння (1) орієнтовані саме на знаходження простих коренів.
1.2. Основні етапи розв’язування.
Розв’язування задачі пошуку кореня нелінійного рівняння здійснюється у три етапи:
а) локалізація кореня або вибір початкового наближення ;
б) ітераційне уточнення кореня;
в) перевірка умови збіжності ітераційного процесу.
Локалізація кореня. Відрізок , що містить лише один корінь рівняння (1.1), називають відрізком локалізації кореня . Мету етапу локалізації вважають досягнутою, якщо для кожного шуканого кореня вдалося визначити відрізок локалізації (його довжину намагаються по можливості зробити мінімальною).
Перед тим як безпосередньо переходити до пошуку відрізків локалізації, доцільно виконати попереднє дослідження задачі на предмет того, чи взагалі існують корені рівняння (1.1), скільки їх і як вони розташовані на числовій вісі.
Універсального способу локалізації коренів немає. Іноді відрізок локалізації є наперед відомим або він визначається з фізичного міркування. У простих випадках добре підходить графічний метод. Для цього будують графік функції для рівняння (1.1) або представляють це рівняння у вигляді та будують графіки функцій і . Значення дійсних коренів рівняння є абсцисами крапок перетину графіку функції з віссю або абсцисами крапок перетину графіків функцій і . Наприклад, маємо рівняння . Перетворимо його до виг л...
